《孙子算经》是华夏古代急迫的数学著做，众人广为熟知的“鸡兔同笼”题目就始于这本书。书中也呈现了最先的浅显的同余题目，并给出了详细解法，是华夏数学史上最有缔造性的成果之一，被称为“华夏残余定理”。今日咱们就来研习一下这道驰名算题:

“今有物，不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物若干？”

翻译一下即是：已知一个正整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数是几？

写成代数式，即：X=3a+2①,X=5b+3②,X=7c+2③,个中a、b、c为整数，求X。

在解这道题以前，咱们来联合研习一个观念——同余。数学上，两个整数除以统一个整数，若得雷同尾数，则二整数同余。如，5和9除以4尾数雷同（都余1），故称5和9对4同余；7、12、17、22……除以5尾数都是2，故这些数对5也是同余的。

本题中，“除以3余2”是一组对3同余的数，背面所说“除以5余3，除以7余2”，别离是对5和7同余的数。

是以咱们也许称这道题为同余题目。

在高级数学中，同余题目曾经进展出了一套系统的理论和公式，是初等数论的急迫构成部份，是探索整数题目的急迫器材之一。当前天咱们要商议的是，没有学过这些的中小高足碰到浅显的同余题目，该当何如解呢？

办法一：

直觉来看，这个题目的代数模式是一个有4个未知数和3个方程的四元一次方程组，咱们请求个中的X。由于未知量个数多于方程个数，属于未必方程，以是解不是独一的。

首先思索方程①②，消去X，得3a+2=5b+3。令a、b取整数试解，当b=1,a=2时等式创建，代回原方程，此时X=8。

显然，同时知足①②式的X尚有很多，那末X究竟有哪些呢，它们之间是甚么关连呢？咱们来商议普遍情况。假使X1、X2都知足“除以3余m、除以5余n”,轻易发觉X1-X2知足”除以3余0、除以5余0”，是以X1-X2必定是3和5的最小公倍数15的倍数。故若X是解，则X+15k(个中k为整数)也是解。

回到本题，解为X=8+15k(k为整数)。

底下思索方程③，X=7c+2。代入上式得7c+2=8+15k。试解，当k=1，c=3时等式创建，此时X=23，同上，23加之（即7和15的最小公倍数）的搪塞整数倍是题宗旨解，即X=23+n（个中n为整数）。

办法二：

用渐渐知足法。从除数最大的7起头，从“除以7余2”的数中找出恰当“除以5余3”的数，即是在尾数2的基本上不停加7，直到所得的数除以5余3，不难发觉知足”除以7余2”和”除以5余3”的最小的数为23。接下来只需在23上不停加“7和5的最小公倍数35”(也许示意成23+35k，k为整数)，直到知足”除以3余2”便可，发觉当k=0时知足题中一块三个前提，以是23是题中所求最小的数。而23加之3、5、7的最小公倍数的整数倍都是此题的解，示意为23+n（n为整数）。

办法三：

浅显粗犷地用枚举的方法，也也许轻便找到一个解。X是三个同余方程的解，咱们也许把这三个同余方程的解列出来，找到民众的谁人即是谜底。

知足3a+2的数有5，8，11，14，20，23，26，29……

知足5b+3的数有8，13，18，23，28，33，38，43……

知足7c+2的数有9，16，23，30，37，44……

它们第一个联合的数即是23，以是X的一个解是23。

……

以上是恰当中小高足袭用的普遍解题办法和思绪，关于尾数是非凡值的情况，尚有伶俐办法，此处不开展了。相对繁杂一些的同余题目常呈此刻各样数学竞争中，感趣味的同窗也许搜索关联质料延续研习。

留一个小题目给众人思虑：有一个整数，除、、获得雷同的尾数（尾数不为0），求这个整数是几多？